Das binäre Zahlensystem
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Leibniz hatte bereits im Mai 1696 den Gedanken zu einem Dualsystem erläutert, welches einzig aus den Ziffern 0 und 1 besteht. Im Januar 1697 beschreibt er in seinem heute als „Neujahrsbrief“ bekannten Schreiben an den Herzog Rudolph August diesen Zusammenhang zwischen mathematischen Strukturen und der theologisch-philosophischen Weltdeutung in schriftlicher Form. Hierbei interpretierte Leibniz sein duales Zahlensystem im Sinne der Schöpfung: Aus dem Nichts (also der Null) und Gottes Wort (also der Eins) sei die gesamte Welt entstanden. Am linken Rand der Briefseite ist der von Leibniz entwickelte Binärcode in Form einer Zahlenpyramide zu erkennen.
René Descartes war ein französischer Philosoph, Mathematiker und Naturwissenschaftler. Er gilt als der Begründer des modernen frühneuzeitlichen Rationalismus, den Baruch de Spinoza, Nicolas Malebranche und Gottfried Wilhelm Leibniz kritisch-konstruktiv weitergeführt haben. Sein rationalistisches Denken wird auch Cartesianismus genannt.
Christiaan Huygens
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Christiaan Huygens korrespondierte mit G. W. Leibniz. Der niederländische Astronom, Mathematiker und Physiker gilt als einer der führenden Mathematiker und Physiker des 17. Jahrhunderts.
Die Infinitesimalrechnung
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Viele der neu erdachten mathematischen Lösungswege hatten vor allem praktischen Charakter und fanden ihren Einsatz in der Landvermessung oder, wie hier in der Bestimmung von Rauminhalten, wie z.B. den eines Fasses. Das Integral einer Kurve kann als Flächeninhalt und das Integral einer Fläche als Volumen gedeutet werden.
Die Einführung des Integralzeichens
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Als Hauptbestandteil der Analysis stellt die sog. Infinitimalrechnung die Grundlage der modernen Mathematik dar. Sie liefert die mathematische Methode, eine Funktion aus beliebig kleinen (also „infinitesimalen“) Abschnitten widerspruchsfrei zu beschreiben. Mit einer derartigen Beschreibung der Funktionen ist es z.B. möglich die vom Funktionsgraphen eingeschlossenen Flächen zu berechnen. Leibniz entwickelte die Infinitesimalrechnung zeitgleich aber unabhängig von Newton in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts. Die von Leibniz eingeführten Bezeichnungen und Symbole für das Integral aber auch den Differentialquotienten sind bis heute üblich. Dieses Zeichensystem setzte sich sicherlich auch deswegen durch, weil Leibniz eine elegante Schreibweise und einen einfachen Rechenweg fand. Zu erkennen ist auf dieser Manuskriptseite u. a. die Formulierung „utile erit scribi ∫ pro omnia“ mit der Einführung des besagten Integralzeichens.
Das Leibnizsche Gesetz
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In logischen Systemen wird Identität über Ununterscheidbarkeit eingeführt: Das Identitätsprinzip (auch Satz der Identität) besagt, dass ein Gegenstand A genau dann mit einem Gegenstand B identisch ist, wenn sich zwischen A und B kein Unterschied finden lässt. Die Methode, durch die Identität erkannt wird, ist der Vergleich. Das Identitätsprinzip wird oft Gottfried Wilhelm Leibniz zugeschrieben und daher auch Leibniz-Gesetz (englisch Leibniz law) genannt.
Die Qudratur des Kreises
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Die Quadratur des Kreises ist ein klassisches Problem der Geometrie. Die Aufgabe besteht darin, aus einem gegebenen Kreis in endlich vielen Schritten ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt zu konstruieren. Die Quadratur des Kreises ist äquivalent zur sogenannten Rektifikation des Kreises, also der Konstruktion einer geraden, dem Kreisumfang entsprechenden Strecke. Allein mit Lineal und Zirkel ist die Aufgabe nicht lösbar.
Für die Praxis von immenser Bedeutung war die von James Gregory und davon unabhängig von Gottfried Wilhelm Leibniz gefundene Reihe für den Arcustangens. Obwohl diese Reihe selbst nur langsam konvergiert, kann man aus ihr andere Reihen ableiten, die sich wiederum sehr gut zur Berechnung der Kreiszahl eignen. Anfang des 18. Jahrhunderts waren mithilfe solcher Reihen über 100 Stellen von Π berechnet, neue Erkenntnisse über das Problem der Kreisquadratur konnten dadurch allerdings nicht gewonnen werden.
Prioritätsstreit: Leibniz gegen Newton
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Im wohl berühmtesten Prioritätsstreit der Geschichte ging es um die Frage, wer als Erster den vollständigen Infinitesimalkalkül mit seiner Differenzialrechnung (Leibniz) oder Fluxionsrechnung (Newton) erfunden habe. In der Sache hat die Forschung des 19. und 20. Jahrhunderts den berühmten Disput endgültig entschieden: Der junge Newton entdeckte in seinem „Annus mirabilis“ (dem „wunderbaren Jahr“) 1665/66 mit rund 23 Jahren die Gravitationstheorie, die er erst 1687 in den berühmten „Principia ...“ publizierte, die Beschaffenheit des weißen Lichtes und die Grundlagen seiner Fluxionsrechnung. Leibniz hingegen entwickelte erst im Oktober 1675 seine Differenzialrechnung, und zwar nicht etwa unter dem Einfluss Newtons, sondern unabhängig.
